目 录CONTENT

文章目录

矩阵乘法与线形变换的复合变换

Hello!你好!我是村望~!
2023-04-03 / 0 评论 / 0 点赞 / 126 阅读 / 898 字
温馨提示:
我不想探寻任何东西的意义,我只享受当下思考的快乐~

矩阵乘法与线形变换的复合变换

了解了线形变换后~ 那么这一次我们加一些更为复合的变换! 也就是多次变换!

Apr-03-2023 11-20-47

这里我们先从函数的角度去考虑!

比如定义对应的两个函数分别为旋转函数 fR 和剪切函数fS,需要算得的变换后的任意向量当做一个参数定义为a

因为上面变换过程是先旋转然后再剪切,那么使用函数表达就应该是下面的样子

fS(fR(a))fS( fR ( a ) )

首先进行旋转矩阵的计算,然后将计算后的结果再进行剪切矩阵的计算!

image-20230403113222359

这就是复合矩阵的计算公式!是如何推算出来的呢?我们先去除任意向量的参数,只去考虑基向量的运算!把基向量的变换算出来,那么其张成空间中的任意向量就理所当然的可以算出!

看看复合矩阵的结果是如何计算出来的!

image-20230403114509388

时刻记得两个矩阵相乘有着几何意义!也就是两个线形变换作用的过程!

首先我们把旋转后的矩阵当做最初始的矩阵! i (0,1), j (-1,0)

我们先去算出 i 帽 (0,1)基向量经过剪切变换后的矩阵坐标!!

根据之前学习的知识他的计算过程是这样的!

[01][1101]=0[10]+1[11]=[0+10+1]=[11]\left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] = 0 \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] + 1 \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { r } { 0 + 1 } \\ { 0 + 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right]

这样就算出旋转矩阵的 i 帽向量,经过剪切矩阵变换后的向量坐标了!同样的我们给出 j帽的计算过程!

[10][1101]=1[10]+0[11]=[1+00+0]=[10]\left[ \begin{array} { l } { - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] = - 1 \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] + 0 \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { - 1 + 0 } \\ { 0 + 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right]

将i帽和j帽组合就是我们的复合矩阵的结果了! 也就是经过旋转矩阵和剪切矩阵后的复合矩阵!代表了经过复合变换后,i帽向量和 j 帽向量的位置!

[1110]\left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right]

将上面的计算过程总结为公式:

[abcd][efgh]=>[ae+bgaf+bhce+dgcf+dh]\left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { e } & { f } \\ { g } & { h } \end{array} \right] =>\left[ \begin{array} { l l } { a e + b g } & { af + bh } \\ { ce + dg }& { cf + dh} \end{array} \right]

看到这里是不是能理解这个公式是如何来的了!而不是死记硬背他!

要理解背后复合变换的几何意义,每次计算前就算记不住公式,也可以大致的回顾一下这个复合变换的集合过程!理解其背后的实际意义!

0

评论区